Het Mandelbrot Mysterie
Week 1: Iteratie van functies
1A. Het Butterfly effect
Vooruitblik
Deze webklas gaat over de
Mandelbrotverzameling.
Dit prachtige wiskundige object ontstaat door iteratie van complexe kwadratische functies.
Met iteratie van een functie wordt het herhaald toepassen ervan bedoeld. In de komende weken zullen we precies uitleggen hoe dit werkt.
De Mandelbrotverzameling is een heel gecompliceerd object.
Ondanks dat de verzameling in de laatste veertig jaar uitvoerig is bestudeerd, zijn er nog steeds onopgeloste vragen.
Deze komen in de laatste week aan bod na een mysterieuze reis langs winderige planeten, wervelende satellieten en uiteenspattende Juliaverzamelingen.
Behalve een scherper oog voor de schoonheid van deze wiskunde geeft de webklas houvast voor het begrijpen van dynamica.
Dynamica is overal: op de beurs, in het dierenrijk, in de atmosfeer. Zo publiceerde het onderzoeksinstituut Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC) in het najaar van 2018 het volgende diagram:
Deze organisatie van de Verenigde Naties voorspelt hierin de globale opwarming tot het jaar 2100.
De waarden kregen zij door iteratie van een ingewikkelde functie die afhankelijk is van veel parameters
(de huidige globale temperatuur, hoeveelheid CO2, hoeveelheid landijs, ijssterkte en ga zo maar door).
Zoals je kunt zien zit er een grote bandbreedte in de uiteindelijke ramingen voor 2100. Dit irriteert het publiek wel eens.
Kunnen de wetenschappers niet gewoon een precieze en correcte voorspelling doen? Daarvoor worden ze toch betaald?
Na het volgen van deze webklas weet je wel beter.
Zelfs bij iteratie van een eenvoudige functie kan chaotisch gedrag ontstaan. Dit maakt het voorspellen van de toekomst onmogelijk.
Bij het weer staat dit fenomeen bekend als het Butterfly effect.
Het idee is dat een vlinder in het regenwoud van Brazilie, door één keer met zijn vleugels te wapperen,
een aantal dagen later een enorme storm kan veroorzaken in Florida.
Dat is wellicht wat overdreven. Of klimaatsystemen chaotisch zijn is moeilijk te zeggen, daarvoor zijn ze te ingewikkeld.
Maar voor wiskundige systemen in deze webklas zullen we het chaotische gedrag echt bewijzen.
Iteratie van een functie
De klimaatwetenschappers uit de vorige paragraaf werken met een dynamisch model.
Dat is een regel, of een formule, waarmee je voor elke begintoestand (de gemeten zeespiegelhoogte, temperatuur, ijsdikte, enzovoorts)
de waarden korte tijd later kunt berekenen.
Door deze regel steeds te herhalen kijk je wat er gebeurt over langere tijd.
Wiskundig gesproken hebben we een functie $f$ die voor elke begintoestand $x_0$ de toestand $x_1 = f(x_0)$ na één tijdseenheid
geeft. Hier kunnen $x_0$ en $x_1$ getallen zijn, maar ook veel ingewikkelder, zoals een verzameling klimaatgegevens.
Door de functie $f$ te herhalen (itereren) kunnen we de toestand na twee tijdseenheden vinden: $x_2 = f(x_1) = f(f(x_0))$.
In plaats van $f(f(x_0))$ schrijven we voortaan het kortere $f^2(x_0)$.
De toestand na $n$ tijdseenheden is dan:
$$
x_n = f^n(x_0) = f(f(\cdots (x_0) \cdots ) ).
$$
De rij $(x_n)$ heet de baan van $x_0$.
Steeds is het de vraag wat uiteindelijk met deze rij gebeurt.
Het boeiende hieraan is dat zelfs eenvoudige formules tot verrassende banen kunnen leiden.
Een voorbeeld
Neem bijvoorbeeld $$f(x)=x^2-2$$
met de startwaarde $x_0=\frac{1}{2}$.
De baan van $x_0$ begint dan met
$$x_1 = (\frac{1}{2})^2-2=-1\frac{3}{4}$$
en
$$x_2=f(-1\frac{3}{4})=\frac{49}{16}-2=1\frac{1}{16}$$
en vervolgens: $$x_3=f(1\frac{1}{16})=\frac{289}{256}-2=-\frac{223}{256}$$.
Hoe gaat dit verder? Het wordt tijd om de computer erbij te pakken.
Na 10 iteraties krijgen we:
Zit hier een regelmaat in? Kun je bijvoorbeeld voorspellen of $x_{50}$ positief dan wel negatief is? Door op de play-knop van de onderstaande animatie te drukken kun je de baan van $x_0=\frac{1}{2}$ zien ontstaan: